Question

23、阅读材料，解决问题：由3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，3⁷=2187，3⁸=6561，…，
不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为3¹⁰⁰=3^4×25，所以3¹⁰⁰的个位数字与3⁴的个位数字相同，应为1；
因为3²⁰⁰⁹=3^4×502+1，所以3²⁰⁰⁹的个位数字与3¹的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出2⁹⁹的个位数字及9⁹⁹的个位数字；
（2）请探索出2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的个位数字；
（3）请直接写出9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的个位数字．

Answer 1

分析：（1）此题不难发现：2ⁿ的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以99÷4=24…3，则2⁹⁹的个位数字是8；9ⁿ的个位数字是9，1两个一循环，所以99÷2=49…1，则9⁹⁹的个位数字是9．
（2）分别找出2²⁰¹⁰和3²⁰¹⁰和9²⁰¹⁰的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的个位数字．
（3）分别找出9²⁰¹⁰和2²⁰¹⁰和3²⁰¹⁰的个位数字，然后个位数字相减所得个位数字就是9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的个位数字，注意不够借位再减．

解答：解：（1）由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，2⁸=256，
不难发现2的正整数幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为2⁹⁹=2^4×24+3，所以2⁹⁹的个位数字与2³的个位数字相同，应为8．
不难发现9的正整数幂的个位数字以9、1为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为9⁹⁹=9^2×49+1，所以9⁹⁹的个位数字与9¹的个位数字相同，应为9．
（2）因为2²⁰¹⁰=2^4×502+2，所以2²⁰¹⁰的个位数字与2²的个位数字相同，应为4；
因为3²⁰¹⁰=3^4×502+2，所以3²⁰¹⁰的个位数字与3²的个位数字相同，应为9；
因为9²⁰¹⁰=9^2×1005，所以9²⁰⁰⁹的个位数字与9²的个位数字相同，应为1．
∴4+9+1=14．
∴2²⁰¹⁰+3²⁰¹⁰+9²⁰¹⁰的个位数字为4；
（3）9²⁰¹⁰-2²⁰¹⁰-3²⁰¹⁰的个位数字为21-4-9=-8．

点评：此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．