Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F．
（1）试判断四边形AFCE是怎样的四边形？
（2）求出四边形AFCE的周长．

Answer 1

分析：（1）四边形AFCE是菱形．要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明；
（2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程6²+（8-x）²=x²，由此可以得到该菱形的周长为4x．

解答：解：（1）四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
则在△AOE与△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF
∴四边形AFEC是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFEC是菱形；

（2）解：设AF=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF=x，BF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
6²+（8-x）²=x²，
x=

25

4

，
即AF=

25

4

cm．
则菱形AFCE的周长为4x=25cm．

点评：本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．