Question

已知直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B．
（1）求m的取值范围；
（2）点A、B能否关于原点中心对称？若能，求出此时m的值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B，
∴，
∴-x+2m+1=，
∴根据根的判别式可知：m＞；

（2）解法一：若A，B关于原点中心对称，则它们的纵横坐标互为相反数，
所以方程（1）的两根互为相反数，
得2m+1=0，解得：m=-，与m＞矛盾，
∴A，B不可能关于原点中心对称．
解法二：若A、B两点关于原点中心对称，
则直线y=-x+2m+1过坐标原点，2m+1=0，m=-，
此时直线为y=-x，所以A、B分别在第二、四象限，
由y=知，A、B应在第一、三象限，矛盾，
故A、B不能关于原点中心对称．
分析：（1）直线y=-x+2m+1与双曲线y=有两个不同的公共点A、B，这两个公共点的横坐标就是方程-x+2m+1=的两个不同的解，根据判别式可求m的取值范围；
（2）用反证法：假设能，根据对称特点，易求m值，与m的取值范围比较，即可判定．
点评：此题难度中等，考查反比例函数一次函数的图象和性质及一元二次方程根与系数关系．