Question

在矩形ABCD中，AD=2，2＜AB＜4，现将一个直径MN为2的量角器如图摆放，使其0°线的端点N与C重合，M与B重合，O为MN的中点，量角器的半圆弧与矩形ABCD的对角线AC、BD分别交于P、Q，设P、Q在量角器上的度数分别是x、y．
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）将量角器绕C点逆时针旋转，使它的直径落在AC上，如图所示，O′为M′C的中点，此时量角器的半圆弧交DC于K，若K点的度数为z，那么z与y的数量关系是什么，请说明理由；
（3）在（2）问图中，若M′B∥KO，求出此时AB的长．

Answer 1

解：（1）在⊙O中，==x°，
∴=180°-，
即y=180°-x．

（2）z与y的数量关系是z=y．
理由：连接O′K，
由（1）知∠POB=∠COQ，
∴∠PCB=∠POB=（180°-x），
在矩形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠PCK=90°-∠ACB=x，
又∵O′K=O′C，
∴∠PKC=∠PCK，
∴∠KPC=180°-2∠PCK=180°-x．
即，z=y．

（3）如图
连接M′B、M′K、OK，
在⊙O′中，CM′为直径，
∴∠M′KC=90°，∠DCB=90°，
∴M′K∥BC，又M′B∥KO，
∴四边形M′BOK为平行四边形，
∴M′K=OB=1，
KC==，
∵M′K∥AD，
∴△M′KC∽△ADC，
∴=，即=，CD=，
因此AB=CD=．
分析：（1）由圆O和矩形ABCD是轴对称图形，得==x°，因此=180°-，问题得解；
（2）连接O′K，∠KPC=180°-2∠PCK，∠PCK=90°-∠PCB，∠PCB=∠POB=（180°-x），由此问题得解；
（3）连接M′B、M′K、OK，证得四边形M′BOK为平行四边形，M′K=OB=1，再由△M′KC∽△ADC，求得CD，问题得证．
点评：本题主要运用圆心角、圆周角及它们之间的关系，平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质来解决问题．