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    4．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．

    （1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，则四边形ABCD的面积为28；
    （2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB2+CD2=AD2+BC2．你认为他的发现正确吗？试说明理由．
    （3）应用：
    ①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．
    ②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．

    分析 （1）由于对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积可化为$\frac{1}{2}$AO•BD+$\frac{1}{2}$CO•BD的和；
    （2）由于对角线互相垂直，由勾股定理分别表示出AB2、CD2、AD2、BC2；
    （3）①过点P作PD⊥AC于点D，构造△PAD∽△BAC后，利用BP2+CQ2=PQ2+BC2列出关于t的方程；
    ②连接BE、CG、BG、CE，证明四边形BCGE是垂直四边形，然后利用其性质“一组对边的平方和等于另一组对边的平方和”，即可得出EG与BC的数量关系．

    解答 解：（1）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
    ∴AC⊥BD，
    ∴△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$AO•BD，
    △CBD的面积为：$\frac{1}{2}$CO•BD，
    ∴四边形ABCD的面积：$\frac{1}{2}$AO•BD+$\frac{1}{2}$CO•BD
    =$\frac{1}{2}$BD（AO+CO）
    =$\frac{1}{2}$AC•BD
    =$\frac{1}{2}$×8×7
    =28；
    故答案为：28；

    （2）∵四边形ABCD是“垂直四边形”，
    ∴AC⊥BD．
    由勾股定理可知：
    AB2+CD2=（AO2+BO2）+（DO2+CO2），
    AD2+BC2=（AO2+DO2）+（BO2+CO2），
    ∴AB2+CD2=AD2+BC2；

    （3）①如图2，过点P作PD⊥AC于点D，
    由题意知：AP=5t，CQ=6t，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10
    ∵PD∥BC．
    ∴△PAD∽△BAC，
    ∴$\frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
    ∴$\frac{AD}{6}=\frac{PD}{8}=\frac{5t}{10}$，
    ∴AD=3t，PD=4t，
    ∴DQ=AC-AD-CQ=6-9t，
    ∵四边形BCQP是“垂直四边形”．
    ∴BP2+CQ2=PQ2+BC2，
    ∴（10-5t）2+（6t）2=（4t）2+（6-9t）2+82，
    ∴解得t=$\frac{2}{9}$或t=0（舍去），
    ∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为$\frac{2}{9}$；
    ②如图3，连接CG、BG、BE、CE，
    CE与BG交于点O
    由题意知：EA=BA，AC=AG
    ∠EAB=∠CAG=90°
    ∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
    ∴∠EAC=∠BAG
    在△EAC与△BAG中$\left\{\begin{array}{l}{EA=BA}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
    ∴△EAC≌△BAG（SAS）
    ∴∠CEA=∠GBA
    ∴∠EAB=∠BOE=90°
    ∴四边形BCGE是“垂直四边形”
    ∴BC2+EG2=BE2+CG2，
    ∵AB=3AC，
    ∴EG2=$\frac{3}{2}$BC2．

    点评 本题考查新定义型问题，解题的关键是对新定义的理解，涉及到勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识内容，题目较新颖和综合，需要学生将新旧知识联系起来．

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