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14、如图,已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)在图(a)中,能否在AB上确定一点E,使得AC2=AE•AB,为什么?
(2)在图(b)中,在条件(1)的结沦下延长EC到P,连接PB,如果PB=PE,试判断PB和⊙O的位置关系,并说明理由.
分析:(1)使AC2=AE•AB成立,则应有△AEC∽△ACB,则应有∠B=∠ACE,则应有∠B对的弧与∠ACE对的弧相等,即点A是CAD的中点;
(2)过点B作直径BF,连接CF,根据圆周角定理及已知可得到∠PBCF=90°,OB是圆O的半径,从而得到PB是圆O的切线.
解答:解:(1)在优弧AB上截取弧AD=弧AC,则有∠B=∠ACD,
∵A=∠A,
∴△AEC∽△ACB.
∴AC:AB=AE:AC.
即AC2=AE•AB.

(2)如图b,过点B作直径BF,连接CF,
∵PB=PE,
∴∠PEB=∠PBE.
∵∠PEB=∠A+∠ACD,∠PBE=∠PBC+∠CBE,∠ACD=∠CBA=∠CBE,
∴∠A=∠PBC.
∵BF是直径,
∴∠BCF=-90°.
∵∠A=∠F,∠F+∠CBF=90°,
∴∠PBC+∠CBF=90°.
∵OB是圆O的半径,
∴PB是圆O的切线.
点评:本题综合利用了相似三角形的判定和性质,圆周角定理,三角形的外角与内角的关系,直径对的圆周角是直角,同角的余角相等,切线的判定求解.
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