Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：AC=AF；
（2）求tan∠CAE的值．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质就可以得出CE=CF，在证明Rt△ACE≌Rt△AFE就可以得出结论；
（2）由点F是AB的一个三等分点（AF＞BF）就可以得出AF=2BF，设BF=x，AF=2x，则AC=2x，AB=AF+BF=3x，由勾股定理就可以求出BC，表示出∠B的正切值，由三角函数值求出EF就可以求出结论．

解答 解：（1）∵∠C=90°
∴EC⊥AC．
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴EC=EF．
在Rt△ACE和Rt△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{EC}={EF}\\{AE}={AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE，
∴AC=AF；

（2）∵点F是AB的一个三等分点（AF＞BF），设BF=x，AF=2x，则AC=2x，AB=AF+BF=3x．
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
BC=$\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}$=$\sqrt{{{（3x）}^2}-{{（2x）}^2}}$=$\sqrt{5}x$．
∵tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2x}{{\sqrt{5}x}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∴在Rt△EFB中，EF=BF•tan∠B=$\frac{2x}{{\sqrt{5}}}$，
∴CE=EF=$\frac{2x}{{\sqrt{5}}}$．
∵tan∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{{\frac{2x}{{\sqrt{5}}}}}{2x}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴tan∠CAE=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
答：tan∠CAE的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，解答时证明三角形全等是关键．