Question

设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x²-y²）（4x²-y²）+3x²（4x²-y²）能化简为x⁴？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：计算题,因式分解

分析：先利用因式分解得到原式=（4x²-y²）（x²-y²+3x²）=（4x²-y²）²，再把当y=kx代入得到原式=（4x²-k²x²）²=（4-k²）x⁴，所以当4-k²=1满足条件，然后解关于k的方程即可．

解答：解：能；
（x²-y²）（4x²-y²）+3x²（4x²-y²）
=（4x²-y²）（x²-y²+3x²）
=（4x²-y²）²，
当y=kx，原式=（4x²-k²x²）²=（4-k²）²x⁴，
令（4-k²）²=1，解得k=±

3

或±

5

，
即当k=±

3

或±

5

时，原代数式可化简为x⁴．

点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．