Question

10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．
（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，求∠EMN的度数．
（3）若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°≤β≤180°），则在这个旋转过程中线段DG长度的最大值为10，最小值为6$\sqrt{2}$-2（直接填空，不写过程）．

Answer 1

分析 （1）由条件证明Rt△GBA≌Rt△EBC可得出AG=CE，且∠GAB=∠BCE，可判定出其位置关系；
（2）过B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分别为P、Q，证明△BPE≌△BQG可得BP=BQ，而可知PM=BQ，所以可得出△BPM为等腰直角三角形，可求出∠EMB的度数；
（3）由旋转性质可知：当点G在线段BD上时DG的长度最短，当在初始位置时，DG最大，利用勾股定理求出其长度即可．

解答 解：
（1）AG=CE，AG⊥CE，证明如下：
∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE，BA=BC，
在△GBA和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBA=∠EBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△EBC（SAS），
∴AG=CE，∠GAB=∠BCE，
∴∠BGA+∠BCE=∠BGA+∠GAB=90°，
∴AG⊥CE；
（2）如图，过B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分别为P、Q，

可知四边形BPMQ为矩形，
∴∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°，
∴∠PBE=∠QBG，
在△BPE和△BQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBE=∠QBG}\\{∠BPE=∠BQG}\\{BE=BQ}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△BQG（AAS），
∴BP=BQ，且BQ=PM，
∴BP=PM，
∴△BPM为等腰直角三角形，
∴∠EMB=45°；
（3）当在初始位置时，DG最大，此时GC=6+2=8，CD=6，由勾股定理可求得DG=10，
当G点在线段BD上时，DG最小，此时BG=2，BD=6$\sqrt{2}$，所以DG=6$\sqrt{2}$-2，
故答案为：10；6$\sqrt{2}$-2．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质及正方形的性质的应用，（2）中构造三角形全等、（3）中确定出最大值和最小值的位置是解题的关键．