Question

在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边作如图所示的正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．
（1）猜想OD和DE之间的数量关系，并说明理由；
（2）设OD=t，求OB的长（用含t的代数式表示）；
（3）若点B在E的右侧时，△BFE与△OFE能否相似？若能，请你求出此时经过O，A，B三点的抛物线解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）OD=DE，根据A点的坐标即可得出直线OA在第一象限的角平分线上，因此△OCD是等腰直角三角形，OD=CD，根据四边形CDEF是正方形，因此CD=DE，即OD=DE．
（2）可根据相似三角形ACF和AOB来求解．根据两三角形相似可得出关于CF，OB，AC，AO的比例关系式，可用t表示出CF，CD即可得出OB的长．
（3）要分两种情况进行讨论：
①∠FOE=∠FBE，此时△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根据（2）的结果即可得出t的值，进而可求出B点的坐标，然后根据O，A，B三点坐标求出抛物线的解析式．
②∠OFE=∠FBE，此时EF²=OE•BE，据此可表示出BE的长，而后仿照①的解法求出t的值，进而根据O，A，B三点坐标来求抛物线的解析式．

解答：解：（1）OD=DE
理由：根据A点的坐标可知：∠AOB=45°，
因此△OCD是等腰直角三角形，
∴OD=CD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE=OD

（2）在直角三角形OCD中，OD=t
因此OC=

2

t
易知OA=2

2

，
∴AC=2

2

-

2

t．
∵CF∥OB
∴△ACF∽△AOB
∴

CF

OB

=

AC

OA

，
即

t

OB

=

2 2 - 2 t

2 2

，OB=

2t

2-t

（3）本题分两种情况：
①∠FOE=∠FBE，则有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=

2t

2-t

，
解得t=

3

2

∴OB=4t=6，即B点坐标为（6，0）
设抛物线的解析式为y=ax（x-6），由于抛物线过A点，则有：
2=a×2×（2-6），a=-

1

4

因此抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x．
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=

t

2

∴OB=OE+BE=2t+

1

2

t=

5

2

t．
∴OB=

2t

2-t

=

5

2

t，
解得t=

6

5

∴OB=3
因此B点的坐标为（3，0）．
则过A，B，O三点的抛物线为y=-x²+3x．
因此△BFE与△OFE能相似，此时过A，O，B三点的抛物线为y=-

1

4

x²+

3

2

x或y=-x²+3x．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．