Question

已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；
（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0求得x的值，从而得出点A、B的坐标；
（2）令x=0，则y=-3a，求得点C、D的坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式；
（3）设存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得

MQ

EN

=

FM

EF

，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标．

解答：解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，
∴C（0，-3a），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
得D（1，-4a），
∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，
∴-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得，

b=3 k+b=4

，
解得

b=3 k=1

，
∴直线CD的解析式为y=x+3；

（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），
∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，
∴N（

3

2

，0）
∴F（

3

2

，

9

2

），EN=

9

2

，
作MQ⊥CD于Q，
设存在满足条件的点M（

3

2

，m），则FM=

9

2

-m，
EF=

( 9 2 )2+( 9 2 )2

=

9 2

2

，MQ=OM=

9 4 +m2

由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，
∴

MQ

EN

=

FM

EF

，
即

9 4 +m2

9 2

=

9 2 -m

9 2 2

，
∴2（

9

4

+m²）=（

9

2

-m）²，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=

63

4

，
m²+9m+

81

4

=

63

4

+

81

4

（m+

9

2

）²=

144

4

m+

9

2

=±

12

2

∴m₁=

3

2

，m₂=-

21

2

，
∴点M的坐标为M₁（

3

2

，

3

2

），M₂（

3

2

，-

21

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．