Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；
（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求梯形ABCD的面积，需先求梯形的高，可作高根据勾股定理易求得；
（2）尝试把四边形MNFE的面积用二次函数的形式表达出来，再由二次函数的最值问题讨论；
（3）在（2）的基础上，使MN=ME，求解即可．
解答：解：（1）如图，
过点A作AG⊥CD于G，过B作BQ⊥DC于Q，
则AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四边形AGQB是平行四边形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=，CQ=，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG==3，
∴S_梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；

（2）设MN=x，AG与MN交于点O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即：=AO：3，
∴AO=，
∴OG=3-=，
∴S_矩形MNFE=x•=x-x²，
∵二次项系数小于0，
∴当x=5时，四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-）×0-（）²]÷[4×（-）]=；

（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．
由（2）可得，ME=OG=，
则==x，
解得x=，
此时，正方形MNFE的面积为：（）²=．
点评：此题考查了梯形的面积、二次函数的最值、正方形的判定等知识点，综合性很强．