Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．

(1)求证：EC＝AC；

(2)若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝8．

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠ACB＝∠EAC，从而得到∠EAD＝∠CAB，由等量代换得到∠ADE＝∠ABC，结合三角形的内角和得到∠E＝∠ACB＝∠EAC即可证明EC＝AC．
（2）设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．通过圆的性质以及角的等量代换得到MD＝ME＝BC＝10，解直角三角形求出EH即可解决问题．

（1）证明：∵BC∥AE，

∴∠ACB＝∠EAC，

∵∠ACB＝∠BAD，

∴∠EAC＝∠BAD，

∴∠EAD＝∠CAB．

∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，

∴∠ADE＝∠ABC，

∵∠EAD＋∠ADE＋∠E＝180°，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，

∴EC＝AC．

（2）解：设AE交⊙O于点M，连接DM，过点M作MH⊥DE于点H，

∵∠EAD＝∠CAB，

∴，

∴DM＝BC＝10，

∵∠MDE＋∠MDC＝180°，∠MDC＋∠MAC＝180°，

∴∠MDE＝∠CAM，

∵∠E＝∠CAE，

∴∠E＝∠MDE，

∴MD＝ME＝10，

∵MH⊥DE，

∴EH＝DH，

∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，

∴cos∠ADB＝cos∠E＝，

∴EH＝4，

∴DE＝2EH＝8．