Question

某种贺卡原售价每张1元，甲商店这种贺卡七折优惠，而在乙商店这种贺卡除了八折优惠外，购买30张以上（含30张）免费送5张．设一次买这种贺卡x张（x是正整数且30≤x≤50），若选择在甲商店购买需用y₁元，若选择在乙商店购买需用y₂元．
（1）假定你代购买45张这种贺卡，请确定应在哪一个商店买花钱较少；
（2）请分别写出y₁（元）与x（张）、y₂（元）与x（张）之间的函数关系式；
（3）在x的取值范围内，试讨论在哪一个商店买花钱较少．

Answer 1

分析：（1）可分别计算出购买45张贺卡，甲乙两商店各需多少钱，然后比较哪个更省．
（2）本题要注意乙的表示方法要根据自变量的变化而变化．
在甲商店购买的费用=打折后的单价×贺卡的张数，在乙商店购买的费用=打折后的单价×贺卡的张数（0-34张）或=打折后的单价×（贺卡的张数-获赠的张数）（35-50张）．可根据此关系来得出y与x的关系式．
（3）要根据自变量的取值范围来分类讨论．

解答：解：（1）当在甲商店购买45张贺卡时，用31.5元（0.7×45）；当在乙商店购买45张贺卡时，用32元[0.8×（45-5）]．
∵31.5＜32，
∴应选择在甲商店买贺卡花钱较少．

（2）根据题意，y₁（元）与x（元）之间的函数关系式为y₁=0.7x（30≤x≤50）；
y₂（元）与x（张）之间的函数关系式为y₂=24（30≤x＜35）或y₂=0.8（x-5）即y₂=0.8x-4（35≤x≤50）．

（3）根据题意，
①当30≤x＜35时，显然y₁＜y₂；
②当35≤x≤50时，令y₁＞y₂；
得

0.7x＞0.8x-4 35≤x≤50

．解得：35≤x＜40．
令y₁=y₂，得

0.7x=0.8x-4 35≤x≤50

．解得：x=40．
令y₁＜y₂，得

0.7x＜0.8x-4 35≤x≤50

．解得：40＜x≤50．
答：当30≤x＜35时，选择在甲商店买贺卡花钱较少；当35≤x＜40时，选择在乙商店买贺卡花钱较少；当x=40时，甲乙商店任选一个；当40＜x≤50时，选择在甲商店买贺卡花钱较少．

点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．