Question

（1）用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n（n＞2）小段，每段的长为不小于1cm的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段．

Answer 1

分析：（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口．
（2）因n段之和为定值150cm，故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列．

解答：解：（1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，
依题意有

x+y+3x=100 x≤y≤3x x+y＞3x

，
由方程可得

100

7

≤x＜

50

3

．
因x为正整数，故x=15或16．
所以满足条件的三角形有15，40，45或16，36，48两组；
（2）这些小段的长度只可能是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…
但1+1+2+…+34+55=143＜150．
1+1+2+…+34+55+89=232＞150．故n的最大值为10，共有以下7种形式：（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，35，60）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，59）（1，1，2，3，5，8，13，21，36，58）．

点评：本题综合考查了三角形三边关系和解含等式、不等式的混合组，有一定的难度．第（2）题解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和．