Question

20．已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．
（1）如图1，当AC=1，BC=$\sqrt{3}$，且点D与A重合时，求线段BE的长；
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD²+BE²=DE²；
（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据勾股定理得到AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，得到∠F=∠ACE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，由∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，得到∠DHF=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴AB=2，
过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∴∠F=∠ACE，
∵∠BCA=90°，∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠BCE=∠F，
∴BF=BC=$\sqrt{3}$，
∵△BEF∽△AEC，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴BE=3-$\sqrt{3}$；

（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又∵CD=CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF=DE，
∵AD²+AF²=DF²，
∴AD²+BE²=DE²；

（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，
∵∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，
∴∠DHF=90°，
∵FG=1，∠B=∠F，
∴HF=$\frac{4}{5}$，HG=$\frac{3}{5}$，
∵EH²+HD²=ED²，
∴（y-$\frac{4}{5}$）²+（x+$\frac{3}{5}$）²=（5-x-y）²，
∴y=$\frac{60-28x}{21-5x}$（0≤x≤$\frac{15}{7}$）．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．