Question

19．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形对角线BD对折，使B点与D点重合，四边形EBFD是菱形吗？请说明理由，并求这个菱形的边长．

Answer 1

分析 首先利用翻折变换的性质得出BO=DO，进而得出∠DEF=∠EFB，求出△EOD≌△FOB，进而得出四边形BEDF是平行四边形，再利用BD⊥EF，得出平行四边形BEDF是菱形；利用菱形的性质以及勾股定理得出菱形的边长．

解答 解：四边形EBFD是菱形，
理由：∵将矩形对角线BD对折，使B点与D点重合，
∴EF垂直平分BD，
∴BO=DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠DEF=∠EFB，
在△EOD和△FOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠FBO}\\{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\end{array}\right.$，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形；
设BE=x，
可得方程：6²+（8-x）²=x²，
解得：x=6.25，
答：菱形的边长为6.25cm．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．