Question

【题目】已知抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m为常数，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．

（1）当m＝1时，求出这条抛物线的顶点坐标；

（2）若无论m取何值，抛物线与直线y＝x﹣km（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；

（3）当1＜PH≤6时，试比较y1，y2之间的大小．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，﹣）；（2）k=3;（3）﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1，﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1

【解析】

(1)化成顶点式即可求得顶点坐标;（2）列方程组根据△=0解决问题;（3）首先证明y1=y3，再根据点B的位置，分类讨论，①令 ＜-m-1，求出m的范围即可判断，②令=-m-1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．③令＞-m-1，求出m的范围即可判断，④令 ≤＜-m，求出m的范围即可判断，⑤令=-m，B，C重合，不合题意舍弃．⑥令＞-m，求出m的范围即可判断．

解：（1）∵m＝1，

∴y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，

∴顶点坐标（﹣，﹣）．

（2）由 消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）＝0，

∵抛物线与直线y＝x﹣km有且仅有一个公共点，

∴△＝0，即（k﹣3）m＝0，

∵无论m取何值，方程总是成立，

∴k﹣3＝0，

∴k＝3．

（3）∵，

抛物线y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3）的顶点为，

PH＝|﹣ ﹣（﹣ ）|＝| |，

∵1＜PH≤6，

∴当＞0时，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，

∴ ＜m≤ ，

当＜0时，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，

∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上，

∴y1＝（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）＝﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在抛物线上，

∴y3＝（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）＝﹣4m，

∴y1＝y3，

①令＜﹣m﹣1，则有m＜﹣ ，结合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣，

此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，如图1，

∴y2＞y1＝y3，

即当﹣1≤m＜﹣时，有y2＞y1＝y3．

②令＝﹣m﹣1，则A与B重合，此情形不合题意，舍弃．

③令＞﹣m﹣1，且时，有﹣＜m≤﹣ ，结合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣＜m≤﹣，

此时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，如图2，

∴y1＝y3＞y2，

即当﹣＜m≤﹣时，有y1＝y3＞y2，

④令，有﹣≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣≤m＜﹣，

此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，如图3，

∴y2＜y3＝y1．

⑤令，B，C重合，不合题意舍弃．

⑥令，有m＞0，结合＜m≤，

∴＜m≤，

此时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，如图4，

∴y2＞y3＝y1，

即当＜m≤时，有y2＞y3＝y1，

综上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤时，有y2＞y1＝y3，﹣＜m＜﹣时，有y2＜y1＝y3．