Question

如图，线段AB的长度为1．
（1）线段AB上的点C满足系式AC²=BC•AB，求线段AC的长度；
（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD²=CD•AC，求线段AD的长度；
（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE²=DE•AD，求线段AE的长度；
上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）

Answer 1

解：（1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=1×（1-x），
整理得x²+x-1=0，
解得x₁=，x₂=（舍去），
所以线段AC的长度为；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=l×（l-x），
∴x₁=l，x₂=l（舍去），
∴线段AD的长度AC；
（3）同理得到线段AE的长度AD；
上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点．
分析：（1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，x²=1×（1-x），整理得x²+x-1=0，然后解方程即可；
（2）设线段AD的长度为x，AC=l，则x²=l×（l-x），然后解方程；
（3）与（2）的解法一样．
利用黄金分割的定义总结规律．
点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．