Question

13．已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．求证：（1）∠FAE=∠BAE；
（2）CD²+BE²=DE²．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到△AFD≌△ADC，根据全等三角形的性质得到AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，∠CAD=∠FAD，由于AB=AC，于是得到AF=AB，证得∠FAE=∠BAE，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，由已知条件得到AF=AB，推出△AFE≌△ABE，求得EF=BE，∠B=∠EFA，根据勾股定理即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ADC与△ADF关于直线AD对称，
∴△AFD≌△ADC；
∴∠CAD=∠FAD，
∵∠CAB=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAD+∠FAE=45°，∠CAD+∠EAB=45°，
∴∠FAE=∠BAE；

（2）∵△AFD≌△ADC，
∴AC=AF，CD=FD，∠C=∠DFA，
又∵AB=AC，
∴AF=AB，
在△AFE与△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠FAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ABE，
∴EF=BE，∠B=∠EFA，
∴∠DFE=∠DFA+∠EFA=∠B+∠C=90°
在Rt△DFE中，DF²+EF²=DE²，
即：CD²+BE²=DE²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．