Question

6．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为A（-$\sqrt{3}$，0）、B（$\sqrt{3}$，0）、C（0，3）．
（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．
（2）过点E（0，-1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．
（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2$\sqrt{7}$为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；
（2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；
（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2$\sqrt{7}$，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）连接BD，
∵B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
∴OB=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠CBO=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CBO=60°
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠CBO，
∴∠DBO=30°，
∴tan∠DBO=$\frac{OD}{OB}$，
∴OD=1，
∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；

（2）连接DF，
过点F作FG⊥y轴于点G，
∵E（0，-1）
∴OE=1，DE=2，
∵直线EF与⊙D相切，
∴∠DFE=90°，DF=1，
∴sin∠DEF=$\frac{DF}{DE}$，
∴∠DEF=30°，
∴∠GDF=60°，
∴在Rt△DGF中，
∠DFG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理可求得：GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}k+b}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-1；

（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴该点必为△ABC外接圆的圆心，
由（1）可知：△ABC是等边三角形，
∴△ABC外接圆的圆心为点D
∴DP=2$\sqrt{7}$，
设直线EF与x轴交于点H，
∴令y=0代入y=$\sqrt{3}$x-1，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴H（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴FH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当P在x轴上方时，
过点P₁作P₁M⊥x轴于M，
由勾股定理可求得：P₁F=3$\sqrt{3}$，
∴P₁H=P₁F+FH=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DEF=∠HP₁M=30°，
∴HM=$\frac{1}{2}$P₁H=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，P₁M=5，
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴P₁（2$\sqrt{3}$，5），
当P在x轴下方时，
过点P₂作P₂N⊥x轴于点N，
由勾股定理可求得：P₂F=3$\sqrt{3}$，
∴P₂H=P₂F-FH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DEF=30°
∴∠OHE=60°
∴sin∠OHE=$\frac{{P}_{2}N}{{P}_{2}H}$，
∴P₂N=4，
令y=-4代入y=$\sqrt{3}$x-1，
∴x=-$\sqrt{3}$，
∴P₂（-$\sqrt{3}$，-4），
综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2$\sqrt{3}$，5）或（-$\sqrt{3}$，-4）．

点评 本题是圆的综合问题，涉及圆的外接圆和内切圆的相关性质，圆的切线性质，锐角三角函数，一次函数等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活运用．