Question

已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角，得到直线l'，l'交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形的面积为时，求的值.

Answer 1

（1）证明： ∵为关于x的一元二次方程,
∴，即,
∴
∴≥.0
∴当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根.
（2）解：关于x的一元二次方程的两根为

∴
∵m，n是方程的两根，且   ∴.
∴a=2. ∴，
. ∵, ∴
∴直线l的解析式为
. ∴直线l与x轴交点，与y轴交点
∴为等腰直角三角形.
∴坐标原点O关于直线l的对称点的坐标为
∴反比例函数的解析式为
（3）解：设点P的坐标为（0, p），延长PQ和AQ'交于点G.
∵轴，与反比例函数图象交于点Q,
∴四边形AOPG为矩形.
∴Q的坐标为. ∴.
当，即时,
∵

∴
∴
经检验，符合题意.
∴
∴AP=6.
点A关于y轴的对称点为，连结,易得
 
可类似地求得，这与矛盾，所以此时点P不存在
. ∴旋转角.