Question

如图，在△ABC中，AB=BC=AC，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
（1）已知CD=3，求BE的长；
（2）求证：BD=ED；
（3）若点F是BE边的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中线的性质得到BC=AC=2CD=6，从而求得线段BE的长；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
（3）利用等腰三角形的性质即可得到DF和BE是垂直关系．

解答：解：（1）∵AB=BC=AC，BD是中线，
∴BC=AC=2CD
∵CD=3，
∴BC=2CD=6，CE=CD=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=

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∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（3）∵点F是BE边的中点，
∴DF是BE边的中线，
∵BD=ED
∴DF⊥BE

点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题第二问的关键．