Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=$\sqrt{2}$，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得$\frac{BC}{BG}$=$\frac{AB}{BC}$求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC²=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．

解答 （1）证明：连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O切线．
（2）解：∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴$\frac{BC}{BG}$=$\frac{AB}{BC}$，即BC²=BG•BA=48，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴BC²=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF=$\sqrt{B{C}^{2}-F{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CG=CF+FG=5$\sqrt{2}$，
在RT△BFG中，BG=$\sqrt{B{F}^{2}+F{G}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵BG•BA=48，
∴$BA=8\sqrt{2}$即AG=5$\sqrt{2}$，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，
∴CH=CB=4$\sqrt{3}$，
∵△ABC∽△CBG，
∴$\frac{AC}{CG}$=$\frac{BC}{BG}$，
∴AC=$\frac{BC•CG}{BG}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴AH=AC-CH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．