Question

14．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$与y=mx交于A、B两点，已知点A的坐标是（4，2），点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在AB的上方．
（1）求k、m的值，写出B点的坐标；
（2）在x轴上有一点Q，使△ABQ为等腰三角形，写出点Q的坐标，并说明为什么？
（3）若S_△ABP=12，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标分别代入反比例函数解析式、正比例函数解析式，即可求得k、m的值，然后联立反比例函数解析式、正比例函数解析式，通过解方程组求得交点B的坐标；
（2）需要分类讨论：AB=AQ，AB=BQ，AQ=BQ；
（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PM交直线AB于点N．设P（x、y），则N（x，$\frac{1}{2}$x），结合三角形的面积公式列出关于x的方程，通过解方程求得x的值，则易得点P的坐标．

解答 解：（1）把A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得到：k=xy=4×2=8，即k=8；
把A（4，2）代入y=mx，得到：2=4m，
解得m=$\frac{1}{2}$．
所以反比例函数解析式为：y=$\frac{8}{x}$，直线为：y=$\frac{1}{2}$x．
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
则B（-4，-2）；

（2）由（1）知，B（-4，-2）．
又A（4，2），
所以AB=$\sqrt{（-4-4）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
设Q（a，0）．
①当AB=AQ时，4$\sqrt{5}$=$\sqrt{（4-a）^{2}+{2}^{2}}$，解得a=4±2$\sqrt{19}$，则Q（4±2$\sqrt{19}$，0）；
②当AB=BQ时，4$\sqrt{5}$=$\sqrt{（-4-a）^{2}+{2}^{2}}$，解得a=4±2$\sqrt{19}$，则Q（-4±2$\sqrt{19}$，0）；
③当AQ=BQ时，$\sqrt{（4-a）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（-4-a）^{2}+{2}^{2}}$，解得a=0（舍去）．
综上所述，符合条件的点Q的坐标是（4±2$\sqrt{19}$，0）或（-4±2$\sqrt{19}$，0）．

（3）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PM交直线AB于点N．设P（x、$\frac{8}{x}$），则N（x，$\frac{1}{2}$x），
∴PN=$\frac{8}{x}$-$\frac{1}{2}$x．
∵S_△ABP=12，
∴$\frac{1}{2}$PN×8=12，即$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{x}$-$\frac{1}{2}$x）×8=12．
解得x₁=2，x₂=-8（舍去），
∴P（2，4）．

点评 本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了反比例函数的图象的性质、等腰三角形的判断与性质、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式等知识点，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．