Question

9、对任给的93个互异的正整数a₁，a₂，…，a₉₃，试证其中一定存在四个正整数a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）为1998的倍数．

Answer 1

分析：先把1998分解成两个整数乘积的形式，再根据在93个互异的正整数a₁，a₂，…，a₉₃中必然存在这样的四个正整数进行解答即可．

解答：解：∵1998=37×54=74×27，
（1）由抽屉原理可知：
在93个互异的正整数a₁，a₂，…，a₉₃中，必有两个数除以37后余数相同，设这两个数为a_m和a_n，则a_m-a_n是37的倍数；
在剩下的91个数中，必有两个数除以54后余数相同，设这两个数为a_p和a_q，则a_p-a_q是54的倍数，
故一定存在四个正整数a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）为1998的倍数．

（2）由抽屉原理可知：
在93个互异的正整数a₁，a₂，…，a₉₃中，必有两个数除以74后余数相同，设这两个数为a_m和a_n，则a_m-a_n是74的倍数；
在剩下的91个数中，必有两个数除以27后余数相同，设这两个数为a_p和a_q，则a_p-a_q是27的倍数，
故一定存在四个正整数a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）为1998的倍数．
综上，一定存在四个正整数a_m，a_n，a_p，a_q，使（a_m-a_n）（a_p-a_q）为1998的倍数．

点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是熟知抽屉原理．