Question

11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在第一象限，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，交CD于点E，OB=2，AB=3．
（1）求k的值；
（2）若点E恰好是DC的中点．
①求直线AE的函数解析式；
②根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值？
③若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你判断线段AN与线段ME的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（2）E的纵坐标是$\frac{3}{2}$，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，从而求得矩形的边长AD和BC．
①利用待定系数法即可直接求解；
②根据函数图象，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值，即求反比例函数图象在一次函数图象上边部分x的范围；
③延长DA交y轴于点F，利用勾股定理分别求得AN和ME的长，即可判断．

解答 解：（1）∵OB=2，AB=3，
∴A的坐标是（2，3），
把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6；
（2）E恰好是DC的中点，则E的纵坐标是$\frac{3}{2}$，把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{6}{x}$得：x=4，
则E的坐标是（4，$\frac{3}{2}$）．
①设直线AE的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{4k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
则直线AE的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
②根据图象回答，在第一象限内，当0＜x＜2或4＜x＜6时，反比例函数的函数值大于直线AE对应函数的函数值；
③延长DA交y轴于点F．
则AF⊥y轴，AF=2，F的坐标是（0，3），OF=3．
在y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$中，令x=0，解得y=$\frac{9}{2}$，即N的坐标是（0，$\frac{9}{2}$），NF=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$；
令y=0，解得：x=6，则M的坐标是（6，0）．则CM=2．
则AN=$\sqrt{N{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
ME=$\sqrt{C{M}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
则AN=ME．

点评 本题是一次函数、反比例函数的综合应用，注意通过图象的交点坐标，利用函数图象比较函数值的大小，要注意运用数形结合的思想．