【题目】如图,在正方形中,平分,交于点,过点作,交的延长线于点,交的延长线于点,
(1)求证:;
(2)如图,连接、,求证平分;
(3)如图,连接交于点, 求的值。
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)由正方形性质得出,,根据直角三角形两锐角互余的关系可得,利用可证得;
(2)由正方形性质与角平分线的定义得出,利用可证得得出,由直角三角形斜边中线的性质得出,根据角的和差关系可得,即可得出结论;
(3)连接,由正方形的性质得出,,,推出,根据角的和差关系可得,利用可证得,得出,推出,即可证得△DCM∽△ACE,即可得出结果.
(1)∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中,,
∴,
(2)证明:∵四边形是正方形,
∴,
∵平分,
∴,
在和中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴平分.
(3)解:连接,如图3所示:
∵四边形是正方形,
∴,,,
∴,
∵,,
∴,
在和中,,
∴,
∴,
∴=22.5°,
∵,
∴,
∴.
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【题目】在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系,是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)画出关于轴对称的;
(2)画出绕原点逆时针旋转得到的;
(3)在(2)的条件下,点所经过的路径长为 (结果保留).
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE折叠后,点A落在点F处,DF交对角线AC于G,则FG的长是________.
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【题目】下列是关于四个图案的描述.
图1所示是太极图,俗称“阴阳鱼”,该图案关于外圈大圆的圆心中心对称;
图2所示是一个正三角形内接于圆;
图3所示是一个正方形内接于圆;
图4所示是两个同心圆,其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.
这四个图案中,阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是( )
A.图1和图3B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图4
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【题目】如图,C为以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=3,求⊙O的半径长.
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【题目】阅读下面材料,完成题.
数学课上,老师出示了这样一道题:
如图1,在中,点在上,点在上,.点在延长线上,连接.探究线段与的数量关系并证明.
同学们经过思考后,交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量,发现与相等.”
小亮:“通过观察和度量,发现与也相等.”
小伟:“通过边角关系构造辅助线,经过进一步推理, 可以得到线段与的数量关系.”
老师:“保留原题条件,延长图1中的与相交于点(如图2),若知道与的数量关系,可以求出的值.”
(1)求证:;
(2)求的值(用含的式子表示);
(3)如图2,若则的值为 (用含的式子表示).
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【题目】如图①,中,,点从点出发沿方向匀速运动,速度为1点是上位于点右侧的动点,点是上的动点,在运动过程中始终保持,cm.过作交于,当点与点重合时点停止运动.设的而积为,点的运动时问为,与的函数关系如图②所示:
(1)=_______,=_______;
(2)设四边形的面积为,求的最大值;
(3)是否存在的值,使得以,,为顶点的三角形与相似?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由.
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【题目】一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量(件与销售价(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元与销售价(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】△ABC为等边三角形,点O为AB边上一点,且BO=2AO=4,将△ABC绕点O逆时针旋转60°得△DEF,则图中阴影部分的面积为______.
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