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    已知矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
    （1）试用t表示点N的坐标，并指出t的取值范围；
    （2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
    （3）是否存在某个时刻t，使得点O、N、M三点同在一条直线上？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据条件先求出AC的值，求出sin∠AOC的值，作NE⊥OA于E，利用相似三角形的性质就可以表示出NE、OE的值，从而求出N点的坐标，由M运动的时间就可以求出t的范围．
    （2）作NF⊥AB于F，根据N点的坐标就可以表示出S△OAN、S△AMN，从而可以求出结论；
    （3）根据（2）的解析式=S△OAM，建立方程求出t的值．即可以得出结论．
    解答：解：（1）如图1，作NE⊥OA于E，
    ∴∠NEA=90°．
    ∵四边形OABC是矩形，
    ∴∠AOC=∠B=90°，BC=OA，OC=AB．
    ∴NE∥OC，
    ∴，
    ∵OA=3cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得
    AC=5，
    ∵CN=t，
    ∴AN=5-t．
    ∴，
    ∴NE=4-t．
    ∵tan∠OAC=，
    ∴，
    ∴AE=3-t，
    ∴OE=t，
    ∴N（t，4-t）．
    ∵=4，
    ∴0＜t≤4；

    （2）作NF⊥AB于F，
    ∴四边形AFNE是矩形，
    ∴NF=AE，NE=AF．
    ∴NF=3-t，
    ∵AM=t，
    ∴S四边形OAMN=+，
    =+，
    =-；

    （3）当O、N、M三点同在一条直线上时，
    -=，
    解得：t1=-2-2（舍去），t2=-2+2＜4，
    故t的值为-2+2．
    点评：本题考查了矩形的性质的运用，平行线分线段成比例定理的运用，不规则四边形的面积的运用，三角形的面积的运用，三角函数值的运用．解答时每一问之间是递进关系，需要认真审题，逐一解答．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点坐标A（3，0），B（3，2），对角线AC所在直线为l，求直线l对应的函数解析式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2010•来宾）已知矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
    （1）试用t表示点N的坐标，并指出t的取值范围；
    （2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
    （3）是否存在某个时刻t，使得点O、N、M三点同在一条直线上？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（-2
    		3
    ，0）、B（-2
    		3
    ，2），∠CAO=30°．
    （1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；
    （2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；
    （3）在平面内是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知矩形OABC的边OC的长为方程x2-x-6=0的一根，如图建立平面直角坐标系，其中精英家教网A、C两点分别在x轴、y轴上．将△ABC沿AC翻折，点B落到B′处，B′C交x轴于点D，且sin∠OCD=
    12
    ．
    （1）求B′的坐标；
    （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度向点O运动；动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒，连接PQ，设以P、Q、D、C为顶点的凸四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

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