Question

【题目】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．

（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD=时，求AE的值．

（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）已知BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，可得∠ADC=90°，∠ACD=45°，在Rt△ADC中，求得AC=2，即可求得CE =，根据翻折可得CE=CE'=，∠ACE'=90°，由勾股定理即可求得AE的长；（2）过B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H，易证△ABH≌△CAE'，根据全等三角形的性质可得AH=CE’=CE，再证明△ABG≌△CAF，即可得AG=CF，再证明CF=AD=CD，所有DF=CF．

试题解析：

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴∠ADC=90°，∠ACD=45°，

在Rt△ADC中，AC=AD×sin45°=2，

∵E是AC的中点，

∴CE=AC=，

∵将△CDE沿CD翻折到△CDE'，

∴CE=CE'=，∠ACE'=90°，

由勾股定理得：AE==；

（2）证明：过B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H，

∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°，

∴∠ABH=∠CAF，

又∵AB=AC，∠BAH=∠ACE’=90°，

∴△ABH≌△CAE'，

∴AH=CE’=CE，

∵CE=AC，

∴AH=HE=CE，

∵D是BC中点，

∴DE是△BCH的中位线，

∴DE∥BH，

∴G是AD中点，

∵在△ABG和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF，

∴△ABG≌△CAF，

∴AG=CF，

∵AG=AD，

∴CF=AD=CD，

∴DF=CF．