Question

如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连结GF.

（1）FG与DC的位置关系是         ，FG与DC的数量关系是        ；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.

 

Answer 1

【答案】

（1）FG⊥CD ，FG=CD；（2）成立

【解析】

试题分析：（1）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，根据矩形的性质可得CM=BD，根据等腰直角三角形的性质可得ED=BD=CM，再结合∠E=∠A=45º可证得△AEM是等腰直角三角形，由F是AE的中点可证得MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º，即可证得△EFD≌△MFC，则可得FD=FC，∠EFD=∠MFC，又∠EFD＋∠DFM=90º即得∠MFC＋∠DFM=90º，即可得到△CDF是等腰直角三角形，从而可以证得结论；

（2）证法同（1）.

解：（1）FG⊥CD ，FG=CD；

（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM

∴四边形 BCMD是矩形.

∴CM=BD.

又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.

∴ED=BD=CM.

∵∠E=∠A=45º

∴△AEM是等腰直角三角形.

又F是AE的中点.

∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.

∴△EFD≌△MFC.

∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.

又∠EFD＋∠DFM=90º

∴∠MFC＋∠DFM=90º

即△CDF是等腰直角三角形.

又G是CD的中点.

∴FG=CD，FG⊥CD.

考点：旋转问题的综合题

点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.