【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题:今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?用现在的数学语言表达是:如图,为的直径,弦,垂足为,寸,尺,其中1尺寸,求出直径的长.
解题过程如下:
连接,设寸,则寸.
∵尺,∴寸.
在中,,即,解得,
∴寸.
任务:
(1)上述解题过程运用了 定理和 定理.
(2)若原题改为已知寸,尺,请根据上述解题思路,求直径的长.
(3)若继续往下锯,当锯到时,弦所对圆周角的度数为 .
【答案】(1)垂径,勾股;(2)26寸;(3)或
【解析】
(1)由解题过程可知根据垂径定理求出AE的长,在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值,即可得到答案.
(2)连接OA,设OA=r寸,则OE=DE-r=25-r,再根据垂径定理求出AE的长,在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值,进而得出结论.
(3)当AE=OE时,△AEO是等腰直角三角形,则∠AOE=45°,∠AOB=90°,所以由圆周角定理推知弦AB所对圆周角的度数为 45°或135°.
解:(1)根据题意知,上述解题过程运用了 垂径定理和 勾股定理.
故答案是:垂径;勾股;
(2)连接OA,设OA=r寸,则OE=DE-r=(25-r)寸
∵AB⊥CD,AB=1尺,∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,即r2=52+(25-r)2,解得r=13,
∴CD=2r=26寸
(2)∵AB⊥CD,
∴当AE=OE时,△AEO是等腰直角三角形,
∴∠AOE=45°,
∴∠AOB=2∠AOE=90°,
∴弦AB所对圆周角的度数为∠AOB=45°.
同理,优弧AB所对圆周角的度数为135°.
故答案是:45°或135°.
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【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿B→A→C运动到点C停止.若△BPQ的面积为y运动时间为x(s),则下列图象中能大致反映y与x之间关系的是( )
A.B.C.D.
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【题目】若关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
(1)求m的取值范围;
(2)若x=1是方程的一个根,求m的值和另一个根.
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【题目】某农场要建一个饲养场(长方形ABCD),饲养场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米),另三边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏),建成后木栏总长57米,设饲养场(长方形ABCD)的宽为a米.
(1)饲养场的长为多少米(用含a的代数式表示).
(2)若饲养场的面积为288m2,求a的值.
(3)当a为何值时,饲养场的面积最大,此时饲养场达到的最大面积为多少平方米?
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【题目】如图,在四边形中,,,,,,点从点出发以的速度向点运动,点从点出发以的速度向点运动,、两点同时出发,其中一点到达终点时另一点也停止运动.若,当__时,是等腰三角形.
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【题目】已知:点D是△ABC中AC的中点,AE∥BC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△GAE∽△GBF;
(2)求证:AE=CF;
(3)若BG:GA=3:1,BC=8,求AE的长.
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【题目】如图,在中,,的平分线交于点,点在上,以点为圆心,为半径的圆恰好经过点,分别交,于点,
(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由.
(2)若,,求阴影部分的面积(结果保留)
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