Question

设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数且恰有75个正因数因子（包括1和本身），求．

Answer 1

【答案】分析：先把75化为75=3×5²的形式，可知N必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2，再根据约数个数公式可知n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次，即N可表达为：N=x²×y⁴×z⁴，再根据n最小即可得出x、y、z的值，进而可得出答案．
解答：解：∵75=3×5²，
∴n必含有质因数3、5，且质因数5的个数至少为2．
根据约数个数公式75=3×5×5=（2+1）×（4+1）×（4+1）即知，n含有3个不同质因数，次数分别为2、4、4次．
∴n可表达为：n=x²×y⁴×z⁴，
要使n最小，显然x=5，y=3、z=2，
即n=5²×3⁴×2⁴=25×81×16=32400，
∴=5×3³×2⁴=3³×2⁴=432．
故答案为：432．
点评：本题考查的是质因数的分解，熟知约数个数公式是解答此题的关键，即如果一个数分解质因数的形式是：M=x^a×y^b×z^c…，则M的约数个数=（a+1）（b+1）（c+1）…