Question

【题目】在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．

（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）点P的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；（3）BH最小＝．

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）作PE∥x轴，交AB于点E，由且△AQD与△APQ是等高的两个三角形知，证△PQE∽△DQB得，据此求得PE=2，求得直线AB的解析式为y=x+1，设E（x，x+1），知P（x-2，x+1），将点P坐标代入求得x的值，从而得出答案；

（3）证∠GHM=90°，再证点C、G、H、M共圆得∠GCH=∠GMH=60°，据此知点H在与y轴夹角为60°的定直线上，从而得BH⊥CH时，BH最小，作HP⊥x轴，并延长PH交AC于点Q，证∠BHP=∠HCM=30°，设OP=a，知CQ=a，从而得QH=，BP=1+a，在Rt△BPH中，得出HP=（a+1），BH=2（1+a），根据QH+HP=AD=4可求得a的值，从而得出答案．

（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，

得：，

解得，

∴y＝﹣x2+3x+4；

（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，

∵A（3，4），AD⊥x轴，

∴D（3，0），

∵B（﹣1，0），

∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，

∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，

∴，

∵PE∥x轴，

∴△PQE∽△DQB，

∴，

∴，

∴PE＝2，

∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，

设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），

将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4，得：﹣（x-2）2+3（x-2）+4＝x+1，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

当x＝3+时，x﹣2＝3+﹣2＝1+，x+1＝3++1＝4+，

∴点P（1+，4+）；

当x＝3﹣时，x﹣2＝3﹣﹣2＝1﹣，x+1＝3﹣+1＝4﹣，

∴P（1﹣，4﹣），

∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，

∴﹣1＜x﹣2＜3，

∴点P的坐标为（1+，4+）或（1﹣，4﹣）；

（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，

∴C（0，4），

∵A（3，4），

∴AC∥x轴，

∴∠OCA＝90°，

∴GH⊥MN，

∴∠GHM＝90°，

在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，

∴点C、G、H、M共圆，

如图2，连接CH，

则∠GCH＝∠GMH＝60°，

∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，

∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，

∵∠GCH＝60°，

∴∠HCM＝30°，

又BH⊥CH，

∴∠BHC＝90°，

∴∠BHP＝∠HCM＝30°，

设OP＝a，则CQ＝a，

∴QH＝a，

∵B（﹣1，0），

∴OB＝1，

∴BP＝1+a，

在Rt△BPH中，HP＝＝（a+1），BH＝＝2（1+a），

∵QH+HP＝AD＝4，

∴a+（a+1）＝4，

解得a＝，

∴BH最小＝2（1+a）＝．