Question

17．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若⊙O的半径为$\sqrt{5}$，AD=2，求线段CE和GE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．
（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2$\sqrt{5}$，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的长；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值．

解答 （1）证明：如图1，连接OE，OC；
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．

（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，（x+2）²-（x-2）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CE=BC=$\frac{5}{2}$；
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵AD∥BG，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=$\frac{5}{2}$，
∴BG=5，
∴AG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{5}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
连接BE，S_△ABG=$\frac{1}{2}$AB•BG=AG•BE，
∴BE=$\frac{10}{3}$，
在Rt△BEG中，EG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道难度较大的综合题．