Question

2．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（8，0）与点B（6，8），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC；
①求点D的坐标；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=$\frac{1}{3}$∠MFO时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）①由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；
（3）点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度，即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）把A（8，0）、B（6，8）分别代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{64+8b+c=0}\\{36+6b+c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-18}\\{c=80}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=x²-18x+80；

（2）①当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．
∵B（6，8），
∴把y=8代入y=x²-18x+80，得
8=x²-18x+80，
整理，得
x²-18x+72=0，
解得x₁=6（舍去），x₂=12．
故D（12，8）；
②∵O（0，0），B（6，8），F为OB的中点，
∴F（3，4）．
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=4，BN=3．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{N}^{2}+F{N}^{2}}$=5．
∵∠BMF=$\frac{1}{3}$∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=5，连接FG，则GN=BG-BN=2，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG=$\sqrt{G{N}^{2}+F{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，
又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴$\frac{GM}{GF}$=$\frac{GF}{GB}$，即 $\frac{2+BM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=2，
此时M（8，8）；
（II）当点M位于点B左侧时．
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=$\frac{1}{2}$OB=FB=5，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=5，
∴BM=MK+BK=5+6=11，
此时M（-5，8）．
综上所述，点M的坐标是（8，8）或（-5，8）．

点评 本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）问，满足条件的点M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．