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    7．钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．

    （1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
    ①当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE=60°，∠BEA=30°；
    ②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
    （2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．

    分析 （1）①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
    只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．
    （2）如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，推出$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

    解答 解：（1）①补全图1，如图所示．

    ∵AB=AC，BD=DC，
    ∴AE⊥BC，
    ∴EB=EC，∠ADB=90°，
    ∵∠ABC=30°，
    ∴∠BAE=60°
    ∵BC=BE，
    ∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，
    ∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
    故答案为60，30．

    ②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

    ∵AB=AC，
    ∴∠ABC=∠C=α，
    ∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，
    ∴∠BAM=∠BAN，
    ∴BM=BN，
    在Rt△BMF和Rt△BNE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
    ∴Rt△BMF≌Rt△BNE．
    ∴∠BEA=∠F，
    ∵BF=BC，
    ∴∠F=∠C=α，
    ∴∠BEA=α．

    （2）结论：∠BAE=α+β．理由如下，
    如图3中，连接EC，

    ∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，
    ∴△ADC∽△BDE，
    ∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，
    ∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，∵∠ADB=∠CDE，
    ∴△ADB∽△CDE，
    ∴∠BAD=∠DCE，
    ∠ABD=∠DEC=β，
    ∵BC=BE，
    ∴∠BCE=∠BEC，
    ∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

    点评 本题考查全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

    练习册系列答案
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