Question

如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F；

（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值．

Answer 1

（1）2
（2）①见解析  ②见解析
（3）8

试题分析：（1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度．
（2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得；由EF∥AB，得．所以。
②由OP=OH，则问题转化为证明，根据①中的结论，易得，故问题得证。
（3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决，如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8。
解：（1）在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。
∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°。∴∠EFO=∠FOE=45°。
又E（﹣2，0），∴EF=EO=2。
（2）①画图，如答图1所示。

证明：∵四边形OABC是正方形，∴OH∥BC。
∴△OFH∽△BFG。∴。
∵EF∥AB，∴。
∴。
②证明：∵半圆与GD交于点P，∴OP=OH。
由①得：，
又EO=2，EA=OA﹣EO=6﹣2=4，
∴。
通过操作、观察可得，4≤BG≤12。
（3）由（2）可得：，
∴2OP+PM=BG+PM。
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形。

∴NK=BG。
∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立。
又∵NK+KM≥MN=8，当点K在线段MN上时，等号成立。
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8。