Question

17．如图，已知一次函数y=$\frac{3}{2}$x-3与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点B．
（1）求n和k的值；
（2）观察反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象，当y≥-2时，请直接写出自变量x的取值范围；
（3）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（4，n）代入一次函数y=$\frac{3}{2}$x-3，得到n的值为3；再把点A（4，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，得到k的值为12；
（2）根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时，自变量x的取值范围；
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为（2，0），过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{13}$，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标．

解答 解：（1）把点A（4，n）代入一次函数y=$\frac{3}{2}$x-3，可得n=$\frac{3}{2}$×4-3=3；
把点A（4，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得3=$\frac{k}{4}$，
解得k=12；

（2）当y=-2时，-2=$\frac{12}{x}$，解得x=-6．
故当y≥-2时，自变量x的取值范围是x≤-6或x＞0；

（3）∵一次函数y=$\frac{3}{2}$x-3与x轴相交于点B，
∴$\frac{3}{2}$x-3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE-OB=4-2=2，
在Rt△ABE中，
AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=$\sqrt{13}$，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2+$\sqrt{13}$+2=4+$\sqrt{13}$，
∴点D的坐标为（4+$\sqrt{13}$，3）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定的难度．