Question

【题目】如图，⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程的两根．

（1）求线段OA、OB的长；

（2）若点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D，当OC2＝CD·CB时，求点C的坐标；

（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA=12，OB=5；（2）C点坐标为（6，-4）；（3）存在． C点坐标为（6，9）．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程即可得到OA=12，OB=5；

（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，由OC2=CDCB，∠OCD=∠BCO，根据相似三角形的判定方法即可得到△COD∽△CBO，则∠2=∠1，而根据圆周角定理有∠1=∠3，所以∠2=∠3，得到弧AC=弧OC，根据垂径定理得MC⊥OA，OF=AF=OA=6，然后根据圆周角定理由∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则在Rt△AOB中，根据勾股定理可计算出AB=13，得到MC=，易得MF=OB=，则FC=MC-MF=4，于是得到C点坐标为（6，-4）；

（3）连接AC，连接CM并延长交OA于F，如图2，若CA=CO，则∠COA=∠CAO，根据邻补角的定义得∠COA+∠COD=180°，根据圆内接四边形的性质得∠CAO+∠CBO=180°，则∠COD=∠CBO，加上∠OCD=∠DCO，根据相似的判定方法即可得到△CBO∽△COD；由CA=CO得弧CA=弧CO，根据垂径定理得CF⊥AC，由（2）得MF=，CM=，OF=6，则CF=CM+MF=9，于是得到C点坐标为（6，9）．

（1）∵（x-12）（x-5）=0，

∴x1=12，x2=5，

∴OA=12，OB=5；

（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，

∵OC2=CDCB，即OC：CD=CB：OC，

而∠OCD=∠BCO，

∴△COD∽△CBO，

∴∠2=∠1，

∵∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴弧AC=弧OC，

∴MC⊥OA，

∴OF=AF=OA=6，

∵∠AOB=90°，

∴AB为⊙M的直径，

在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，

∴AB=13，

∴MC=，

∵MF为△AOB的中位线，

∴MF=OB=，

∴FC=MC-MF=4，

∴C点坐标为（6，-4）；

（3）存在．

连接AC，连接CM并长交OA于F，如图2，

若CA=CO，则∠COA=∠CAO，

∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，

∴∠COD=∠CBD，而∠OCD=∠DOC，

∴△CBO∽△COD，

∵CA=CO，

∴弧CA=弧CO，

∴CF⊥AC，

由（2）得MF=，CM=，OF=6，

∴CF=CM+MF=9，

∴C点坐标为（6，9）．