Question

如图，A点坐标为（2，2），B点坐标为（2，0）．
（1）求∠AOB的度数．
（2）在坐标轴上有一点P，使得△PAB和△AOB全等．请写出P点坐标．（此题只要求两三角形全等即可，不要求点的位置对应）
（3）试在直线y=x-4上寻找一点Q，使得△QBO≌ABO．请写出Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用点A、B的坐标推知△AOB是等腰直角三角形；
（2）由全等三角形的性质知，△PAB也是等腰直角三角形．因为点P在坐标轴上，AB⊥x轴，所以只有∠PAB=90°和∠PBA=90°这两种情况；
（3）由全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质和一次函数图象上点的坐标特征来求点Q的坐标．

解答：解：（1）∵A点坐标为（2，2），B点坐标为（2，0），
∴OB=AB=2，且AB⊥OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠BAO=45°；

（2）由（1）知，△AOB是等腰直角三角形，且OB=AB=2，∠OBA=90°．
∵△PAB和△AOB全等（此题只要求两三角形全等即可，不要求点的位置对应），
∴△PAB也是等腰直角三角形．
①当点P在x轴上时，∠PBA=90°，如图1所示．此时△OAB≌△PAB，则BO=BP=2，所以P（4，0）；
②当点P在y轴上时，∠PAB=90°，如图2所示．此时△OAB≌△PBA，则AP=AB=2，所以P（0，2）；
综上所述，满足条件的点P的坐标是：P（4，0），P（0，2）；

（3）∵△QBO≌ABO，
∴QB=AB=2，∠OBQ=∠OBA=90°，
∴Q的横坐标是2．如图3所示．
∵点Q在直线y=x-4上，
∴当x=2时，y=2-4=-2，
∴Q（2，-2）

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2）题时，注意分类讨论，以防漏解．