Question

6．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是直角三角形；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°-30°=90°，则△ACD是直角三角形．
（2）分类讨论：当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算．

解答 解：（1）∵△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=30°，
又∵∠CDE=30°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案为：直角三角形；

（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE=∠ECD时，EC=DE，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，
∴∠AED=60°，
②当∠ECD=∠CED时，CD=DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=$\frac{180°-∠CDE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠AED=180°-∠CED=105°，
③当∠CED=∠CDE时，EC=CD，
∠ACD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ACB=120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了分类讨论思想的运用以及等腰三角形的判定与性质．