Question

3．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=20°，β=10°．
②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°，
∴α=∠BAD=60°-40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，
∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°，
故答案为：20，10；

②设∠ABC=x，∠AED=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；

（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β-y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β-180°，

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α=180°-2β．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式，难点是画出图形，是一道基础题目．