定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．分析 （1）根据圆的圆心、圆的半径，可得A，B点，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据切线的定义，可得方程组有一组解，可得切线的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得答案．
解答 解：（1）∵M的坐标为（1，0），半圆半径为3，
∴点A，B坐标分别是（-2，0），（4，0），则设“蛋圆”抛物线部分的函数表达式为y=a（x+2）（x-4），
而点D的坐标为（0，8）
∴8=a（0+2）（0-4），
∴“蛋圆”抛物线部分的函数表达式y=-x2+2x+8，
由A，B点的横坐标，得
自变量的取值范围是-2≤x≤4；
（2）设过点D（0，8）“蛋圆”切线的解析式为 y=kx+8（k≠0），
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+8}\\{y=-{x}^{2}+2x+8}\end{array}\right.$只有一组解，
即kx+8=-x2+2x+8有两个相等的实数根，
化简，得x2+（k-2）x=0，
因式分解，得x[x+（k-2）]=0，得
2-k=0，解得
∴k=2，
∴过点D）“蛋圆”切线的解析式为 y=2x+8，
当y=0时，解得x=-4，
∴OE=4；
（3）在x轴上存在点P，使得以O、C、P为顶点的三角形△DOE相似，
如图
，
在△OMC中由勾股定理，得
OC=2$\sqrt{2}$．
当△OCP∽△ODE时，$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OC}{OD}$，$\frac{OP}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{8}$，解得OP=$\sqrt{2}$，P1（$\sqrt{2}$，0）P2（-$\sqrt{2}$，0），
当△OCP∽△OED时，$\frac{OP}{OD}$=$\frac{OC}{OE}$，$\frac{OP}{8}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$，解得PO=4$\sqrt{2}$，P3（4$\sqrt{2}$，0）P4（-4$\sqrt{2}$，0）．
综上所述：点P的坐标是（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（4$\sqrt{2}$，0）（-4$\sqrt{2}$，0）．
点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用切线得出方程组只有一组解，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出关于OP的长，要分类讨论，以防遗漏．
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| A校 | B校 | |||
| 路程（千米） | 运费单价（元） | 路程（千米） | 运费单价（元） | |
| 甲地 | 20 | 0.15 | 10 | 0.15 |
| 乙地 | 15 | 0.20 | 20 | 0.20 |
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正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，∠ABE=∠CBF=15°，G是AD上另一点，且∠BGD=120°，连接EF、BG、FG、EF、BG交于点H，则下面结论：①DE=DF；②△BEF是等边三角形；③∠BGF=45°；④BG=EG+FG中，正确的是①②④（请填番号）查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，直线l1：y=$\frac{4}{3}$x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l2：y=-$\frac{3}{4}$x+b经过点C，且与直线l1交于点D，与y轴交于点E，连结AE．查看答案和解析>>
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如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC+BD=22cm，△OAB的周长是16cm，则EF的长为2.5cm．查看答案和解析>>
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已知：如图，∠1=72°，∠2=62°，∠3=62°，求∠4=108°．