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    已知正方形ABCD的边长为a，EF∥GH，且EF与GH之间的距离等于a．
    （1）如图1，若EF经过A，GH与BC、CD分别交于点I、J．作AP⊥GH，垂足为P．求证：△API≌△ABI，且∠IAJ=45°；
    （2）如图2，若EF与AD、AB分别相交于点K、L，GH与BC、CD分别相交于点I、J，IK与JL相交于点M．作KP⊥GH，垂足为P，作KQ⊥BC，垂足为Q．求证：△KPI≌△KQI，且∠IMJ=45°．
    考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质
    专题：
    分析：（1）由正方形的性质就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就可以得出∠BAI=∠PAI=
    1
    2
    ∠BAP，再由△APJ≌△ADJ就可以得出∠DAJ=∠PAJ=
    1
    2
    ∠DAP就可以得出结论；
    （2）由正方形的性质就可以得出AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=90°，就可以得出AD=AP=AB=a，由HL就可以得出△API≌△ABI，就有∠JIM=∠MIS，如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，可以得出△MOI≌△MSI，就有∠OMI=∠IMS，△RMJ≌△OMJ得出∠RMJ=∠OMJ，从而得出结论．
    解答：证明：（1）如图1，
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=a．
    ∵AP⊥GH，
    ∴∠ABI=∠API=∠BAD=∠APJ=90°．
    ∵EF与GH之间的距离等于a
    ∴AP=AB=AD=a．
    在RT△ABI和RT△API中，
    AI=AI
    AB=AP
    ，
    ∴RT△ABI≌RT△API（HL）
    即△API≌△ABI．
    ∴∠BAI=∠PAI=
    1
    2
    ∠BAP．
    在Rt△APJ和Rt△ADJ中
    AJ=AJ
    AP=AD
    ，
    ∴Rt△APJ≌Rt△ADJ（HL）
    ∴∠DAJ=∠PAJ=
    1
    2
    ∠DAP．
    ∵∠BAP+∠DAP=90°
    ∴∠IAJ=∠PAI+∠PAJ=
    1
    2
    （∠BAP+∠DAP）=45°；
    （2）如图2，∵ABCD是正方形，
    ∴AB=BC=CD=DA=a，∠B=∠D=∠DAB=90°．
    ∵KP⊥GH，KQ⊥BC，
    ∴∠KPI=∠KQI=∠KQB=90°．
    ∴∠B=∠AQB=∠DAB=90°，
    ∴四边形KABQ为矩形，
    ∴KQ=AB．
    ∵EF与GH之间的距离等于a
    ∴KP=AB=a．
    ∴KP=KQ．
    在RT△KPI和RT△KQI中，
    KI=KI
    KP=KQ
    ，
    ∴Rt△KPI≌Rt△KQI（HL）
    如图3，作MR⊥CD于R，MS⊥BC于S，MO⊥JI于O，
    ∴∠MRJ=∠MOJ=∠MOI=∠MSI=90°．
    ∵Rt△KPI≌Rt△KQI，
    ∴∠JIM=∠MIS．
    在△MOI和△MSI中，
    ∠MOI=∠MSI
    ∠JIM=∠MIS
    MI=MI
    ，
    ∴△MOI≌△MSI（AAS）．
    ∴∠OMI=∠IMS．
    同理可得△RMJ≌△OMJ，
    ∴∠RMJ=∠OMJ，
    ∵∠IMJ=∠IMO+∠JMO，
    ∴∠IMJ=
    1
    2
    （∠RMO+∠OMS）．
    ∵∠RMO+∠OMS=90°
    ∴∠IMJ=45°．
    点评：本题考查了正方形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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    ，
     
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    器乐类400.40
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    ①a=
     
    ，b=
     
    ；
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    度；
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    比较大小：
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    1（填“＜”或“＞”或“=”）．

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