Question

已知：如图，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且∠BAC=60°，∠ABC=100°，∠DEC=80°，求S_△ABC+2S_△CDE．

Answer 1

分析：△ABC和△CDE都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于△ABC中AC已知，且∠BAC=60°，若以AC为一边和以∠BAC为-内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求．

解答：解：S_△ABC+2S_△CDE=

3

8

．
（1）如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G，
∵E是BC的中点，∴BE=CE=GE，
∴∠GBC=∠BGE=80°．
∵∠ABC=100°，∠DEC=80°，∠A=60°，
∴∠BCA=20°，∠EDC=80°．
∴△CDE≌△EBG，
∴S_△BGE=S_△DEC，
∵E是BC的中点，
∴S_△BGC=2S_△BGE，
∴2S_△CDE=S_△CBG，
∴S_△ABC+2S_△CDE=S_△ABC+S_△CBG
=S_△CGA=

1

2

AG•CG
=

3

8

．
这是构成直角三角形的解法；

（2）如图：以AC为一边，∠BAC为-内角，构成正△ACG．
作∠GCB的平分线交GA于F，
则S_△GAC=

1

2

AC2•sin60°=

3

4

．
可证△BAC≌△FGC，△CED∽△CBF．
∵CE=

1

2

BC，
∴S_△CED=

1

4

S_△CFB，
∴S_△ABC+2S_△CDE=S_△ABC+

1

2

S_△CFB=

1

2

S_△CGA=

3

8

．

点评：本题通过构造三角函数和等边三角形可以求解，利用直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质求解．