Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．
（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；
（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；
（3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的

5

8

倍时，直接写出此时点E的坐标．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,坐标与图形性质,垂线,三角形的面积,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=

1

2

∠PBO，∠ODF=

1

2

∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=

1

2

∠ABO，∠CDQ=

1

2

∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；
（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．

解答：（1）证明：如图1．
∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于点P，
∴∠DPB=90°，
∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=

1

2

∠PBO，∠ODF=

1

2

∠PDO，
∴∠CBO+∠ODF=

1

2

（∠PBO+∠PDO）=90°，
∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠CBO=∠DFO，
∴DF∥CB． 

（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，
证明：延长DF交CB于点Q，如图2，
∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°，
∴∠ABO=∠PDA，
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴∠CBO=

1

2

∠ABO，∠CDQ=

1

2

∠PDO，
∴∠CBO=∠CDQ，
∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∴在△QCD中，∠CQD=90°，
∴DF⊥CB． 

（3）解：过M作MN⊥y轴于N，
∵M（4，-1），
∴MN=4，ON=1，
当E在y轴的正半轴上时，如图3，
∵△MCE的面积等于△BCO面积的

5

8

倍时，
∴

1

2

×2×OE+

1

2

×（2+4）×1-

1

2

×4×（1+OE）=

5

8

×

1

2

×2×4，
解得：OE=

7

2

，
当E在y轴的负半轴上时，如图4，

1

2

×（2+4）×1+

1

2

×（OE-1）×4-

1

2

×2×OE=

5

8

×

1

2

×2×4，
解得：OE=

3

2

，
即E的坐标是（0，

7

2

）或（0，-

3

2

）．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．