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(2008•来宾)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一个动点,AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC,延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E,连接BE、CE.
(1)证明:△ABE∽△BFE;
(2)证明:△BDE是等腰直角三角形;
(3)如果四边形ABEC是梯形,试求∠ABC的大小.

【答案】分析:(1)需证明∠CBE=∠BAE,根据同弧所对的圆周角相等和角平分线的定义可证得;
(2)AB是半圆O的直径,那么∠DEB=90°,再证明∠EDB=∠EBD即可,可根据∠EDB=∠BAE+∠ABD,∠EBD=∠CBE+∠FB和(1)的结论证明;
(3)由于四边形ABEC是梯形,就有CE∥AB,可得∠CEA=∠BAE,可得∠CAE=∠BAE=∠ABC,又∠ACB=90°,∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°(即3∠ABC=90°,∴∠ABC=30°).
解答:(1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.(1分)
又∵∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CBE=∠BAE.(2分)
又∵∠AEB=∠BEF,
∴△ABE∽△BFE.

(2)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠DEB=90°.(4分)
又∵AD平分∠BAC,BD平分∠ABC,
∴∠CAE=∠BAE,∠ABD=∠FBD.
又∵∠EDB=∠BAE+∠ABD,
∠EBD=∠CBE+∠FBD
∠CAE=∠CBE(同弧所对的圆周角相等),
∴∠EDB=∠EBD.(5分)
∴△BDE是等腰直角三角形.

(3)解:∵四边形ABEC是梯形,
∴CE∥AB.
∴∠CEA=∠BAE.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠CAE=∠BAE.
又∵∠CEA=∠ABC(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CAE=∠BAE=∠ABC.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠CAE+∠BAE=90°(即3∠ABC=90°).
∴∠ABC=30°.
点评:此题综合考查了相似三角形的判定、角平分线的定义、圆周角定理等知识点.
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(2)证明:△BDE是等腰直角三角形;
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