Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA-MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y=-x+3，
设点P（x，x²-4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，-x+3），
∴PD=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵a=-1＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，线段PD的长度有最大值$\frac{9}{4}$；
（3）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三边关系，|MA-MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA-MC|最大，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-3x+3，
∵抛物线y=x²-4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=-3×2+3=-3，
∴点M（2，-3），
即，抛物线对称轴上存在点M（2，-3），使|MA-MC|最大．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．