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【题目】如图,四边形ABCD中,ABCD,∠B=90°,AB=1CD=2BC=m,点P是边BC上一动点,若△PAB与△PCD相似,且满足条件的点P恰有2个,则m的值为_______

【答案】32

【解析】

由平行线得出∠C=90°,当∠BAP=∠CDP时,△PAB∽△PDC,得出 ,得出PC=2PB①,当∠BAP=∠CPD时,△PAB∽△DPC,得出,即PB×PC=1×2=2②,由①②得:PB=1,得出PC=2,BC=3;
设BP=x,则=m-x,得出x:2=1:(m-x),整理得:x2-mx+2=0,方程有唯一解时,△=m2-8=0,解得:m=±2(负值舍去),得出m=2;即可得出结论.

∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C+∠B=180°,
∴∠C=90°,
当∠BAP=∠CDP时,△PAB∽△PDC,
,即
∴PC=2PB①,
当∠BAP=∠CPD时,△PAB∽△DPC,
,即PB×PC=1×2=2②,
由①②得:2PB2=2,
解得:PB=1,
∴PC=2,
∴BC=3;
设BP=x,则=m-x,
∴x:2=1:(m-x),
整理得:x2-mx+2=0,
方程有唯一解时,△=m2-8=0,
解得:m=±2负值舍去),
∴m=2
综上所述,若△PAB与△PCD相似,且满足条件的点P恰有2个,则m的值为3或2
故答案为:3或2

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