【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=m,点P是边BC上一动点,若△PAB与△PCD相似,且满足条件的点P恰有2个,则m的值为_______.
【答案】3或2.
【解析】
由平行线得出∠C=90°,当∠BAP=∠CDP时,△PAB∽△PDC,得出 ,得出PC=2PB①,当∠BAP=∠CPD时,△PAB∽△DPC,得出,即PB×PC=1×2=2②,由①②得:PB=1,得出PC=2,BC=3;
设BP=x,则=m-x,得出x:2=1:(m-x),整理得:x2-mx+2=0,方程有唯一解时,△=m2-8=0,解得:m=±2(负值舍去),得出m=2;即可得出结论.
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C+∠B=180°,
∴∠C=90°,
当∠BAP=∠CDP时,△PAB∽△PDC,
∴,即,
∴PC=2PB①,
当∠BAP=∠CPD时,△PAB∽△DPC,
∴,即PB×PC=1×2=2②,
由①②得:2PB2=2,
解得:PB=1,
∴PC=2,
∴BC=3;
设BP=x,则=m-x,
∴x:2=1:(m-x),
整理得:x2-mx+2=0,
方程有唯一解时,△=m2-8=0,
解得:m=±2负值舍去),
∴m=2;
综上所述,若△PAB与△PCD相似,且满足条件的点P恰有2个,则m的值为3或2;
故答案为:3或2.
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【题目】如图,矩形纸片,将和分别沿和折叠(),点和点都与点重合;再将沿折叠,点落在线段上点处.
(1)判断和中有哪几对相似三角形? (不需说明理由)
(2)如果,求的长.
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【题目】已知:点E是正方形ABCD中边AB的中点.
(1)如图1,点T为线段DE上一点,连接BT并延长交AD于点M,连接AT并延长交CD于点N,且AM=DN.试判断线段AN与线段BM的关系,并证明;求证:点M是线段AD的黄金分割点.
(2)如图2,在AD边上取一点M,满足AM2=DMDA时,连接BM交DE于点T,连接AT并延长交DC于点N,求tan∠MTD的值.
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【题目】如图,在中,点分别是的中点,则下列四个判断中不一定正确的是()
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若,则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形,则是等边三角形
D. 若四边形是正方形,则是等腰直角三角形
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【题目】如图,CD是⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,直线AB与CD的延长线相交于点A,AB2=ADAC,OE∥BD交直线AB于点E,OE与BC相交于点F.
(1)求证:直线AE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,cosA=,求OF的长.
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【题目】如图,△ABC与 △ADE中,∠ACB=∠AED=90°,连接BD、CE,∠EAC=∠DAB.
(1)求证:△ABC ∽△ADE;
(2)求证:△BAD ∽△CAE;
(3)已知BC=4,AC=3,AE=.将△AED绕点A旋转,当点E落在线段CD上时,求 BD的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等边三角形,点D在边AB上.
(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;
(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想ED和EB数量关系,并加以证明;
(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EH⊥AB于点H,过点E作GE∥AB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.
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【题目】在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的个小球,它们分别标有数字,从袋中任意摸出一小球(不放回),将袋中的小球搅匀后,再从袋中摸出另一小球.
(1)请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果;
(2)规定:如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根,则小明贏;如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根,则小亮赢.你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗?请说明理由.
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【题目】教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力,要增强学生的创新精神和综合素质.王老师想尝试改变教学方法,将以往教会学生做题改为引导学生会学习.于是她在菱形的学习中,引导同学们解决菱形中的一个问题时,采用了以下过程(请解决王老师提出的问题):
先出示问题(1):如图1,在等边三角形中,为上一点,为上一点,如果,连接、,、相交于点,求的度数.
通过学习,王老师请同学们说说自己的收获.小明说发现一个结论:在这个等边三角形中,只要满足,则的度数就是一个定值,不会发生改变.紧接着王老师出示了问题(2):如图2,在菱形中,,为上一点,为上一点,,连接、,、相交于点,如果,,求出菱形的边长.
问题(3):通过以上的学习请写出你得到的启示(一条即可).
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